[整理]ACM模拟题详解（3）——数论（续）
杰拉斯 | 时间：2012-02-17, Fri | 4,958 views编程算法
5、Prime Ring Problem
Problem Description
A ring is compose of n circles as shown in diagram. Put natural number 1, 2, ..., n into each circle separately, and the sum of numbers in two adjacent circles should be a prime.
Note: the number of first circle should always be 1.
Input
n (0 < n < 20).
Output
The output format is shown as sample below. Each row represents a series of circle numbers in the ring beginning from 1 clockwisely and anticlockwisely. The order of numbers must satisfy the above requirements. Print solutions in lexicographical order.
You are to write a program that completes above process.
Print a blank line after each case.
Sample Input
6
8
Sample Output
Case 1:
1 4 3 2 5 6
1 6 5 2 3 4
Case 2:
1 2 3 8 5 6 7 4
1 2 5 8 3 4 7 6
1 4 7 6 5 8 3 2
1 6 7 4 3 8 5 2
翻译：n个数字（1,2,3...n）围成一个圈，要求相邻的两个数字之和是质数。题目要求根据给出的n，计算所有能够组成满足条件的圈的数字序列。
解题思路：
首先选择1，然后选择和1相加等于质数的数字，可能有很多种情况，例如（n=6的情况）：
1+2
1+4
1+6
然后针对每种情况，再选择与第二个数的和为质数的数字，得到下面的序列
1+2+3
1+2+5
1+4+3
1+6+5
直到所有的数字都选择完，把所有的组合列出即可。计算的过程就是构造下面的树的过程。
从图中可以看出1-4-3-2-5-6 和 1-6-5-2-3-4是两个合法的解。
对于树的遍历可以采用深度优先，也可以采用广度优先，如果采用广度优先占用的内存比较大，所以解空间比较大的时候不宜采用。
下面是采用广度优先实现的（当n=18和n=20的时候内存不够用）
/*
* Prime Ring Problem
*/
public static void test4(int n){
int values[] = new int[n];
// 初始化
for(int i=0;i<n;i++){
values[i] = i+1;
}
// 表示遍历过程中可能的解
List list = new ArrayList();
list.add(values);
// 处理后面的n-1个数字，1永远是第一个
for(int i=1;i<n;i++){
List temp = list;
list = new ArrayList();
// 对于每个可能的解，得到下一层节点
for(int j=0;j<temp.size();j++){
int tempValues[]=(int[])temp.get(j);
// 考虑所有可能的组合
for(int k=i;k<n;k++){
if(isPrime(tempValues[i-1]+tempValues[k])){
// 创建新的状态，并复制原来的值
int[] newValues = Arrays.copyOf(tempValues, tempValues.length);
// 交换i和k处的值
if(i!=k){
int change = newValues[i];
newValues[i] = newValues[k];
newValues[k] = change;
}
// 把新状态添加到列表中
list.add(newValues);
}
}
}
}
// 输出结果
for(int i=0;i<list.size();i++){
int[] tempValues = (int[])list.get(i);
if(isPrime(tempValues[0]+tempValues[n-1])){
for(int j=0;j<n;j++){
System.out.print(tempValues[j]+" ");
}
System.out.println();
}
}
System.out.println(list.size());
}
下面是深度优先的算法。
/*
* Prime Ring Problem（深度优先）
*/
public static void test5(int n){
// 数组的前n个元素表示环中的数字，第n+1个数据表示数组中前n+1个元素是满足条件的
int values[] = new int[n+1];
// 初始化
for(int i=0;i<n;i++){
values[i] = i+1;
}
values[n]=1;
// 表示遍历过程中可能的解
List list = new ArrayList();
list.add(values);
StringBuffer sb = new StringBuffer();
while(list.size()>0){
// 取出第一个元素
int tempValues[]=(int[])list.get(0);
// 表示处理到第几层，第一层用0表示
int index=tempValues[n];
// 遍历并生成所有可能的下一层节点
for(int k=tempValues[n];k<n;k++){
if(isPrime(tempValues[index-1]+tempValues[k])){
// 如果是最后一层并且，最后一个数和第一个数的和
// 也是质数，则输出结果
if(index==n-1 && isPrime(tempValues[index]+1)){
for(int j=0;j<n;j++){
sb.append(tempValues[j]+" ");
}
sb.append("/n");
// 分批输出
if(sb.length()>10000){
System.out.print(sb.toString());
sb=new StringBuffer();
}
continue;
}
// 创建新的状态，并复制原来的值
int[] newValues = Arrays.copyOf(tempValues, tempValues.length);
// 交换i和k处的值
if(index!=k){
int change = newValues[index];
newValues[index] = newValues[k];
newValues[k] = change;
}
newValues[n] = newValues[n]+1;
// 把新状态添加到列表中,放在最前面，深度优先，
// 如果采用广度优先，则应该放到最后面
list.add(0,newValues);
}
}
// 从list中删除当前的节点
list.remove(tempValues);
}
System.out.print(sb.toString());
}
6、人见人爱A^B
Problem Description
求A^B的最后三位数表示的整数。
说明：A^B的含义是“A的B次方”
Input
输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数A和B组成（1<=A,B<=10000），如果A=0, B=0，则表示输入数据的结束，不做处理。
Output
对于每个测试实例，请输出A^B的最后三位表示的整数，每个输出占一行。
Sample Input
2 3
12 6
6789 10000
0 0
Sample Output
8
984
1
解题思路：要求6789的10000次方，使用Java语言提供的数据类型肯定要越界，可以使用之前介绍的大数解决方案，但是计算量会非常大。仔细看这道题会发现要求求结果的后3位，所以6789*6789与789*789的结果的后3位是相同的，所以在处理的时候只需要考虑后3位即可，这样处理解简单了。下面的代码供参考：
/*
* A的B次方的后3位
*/
public static int test6(int a,int b){
// 保留后3位
int temp = a%1000;
int result = temp;
for(int i=1;i<b;i++){
result = (result*temp)%1000;
}
return result;
}
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